Subgraph Detection with cues using Belief Propagation

We consider an Erdős-Rényi graph with n nodes and edge probability q that is embedded with a random subgraph of size K with edge probabilities p such that p > q. We address the problem of detecting the subgraph nodes when only the graph edges are observed, along with some extra knowledge of a small fraction of subgraph nodes, called cued vertices or cues. We employ a local and distributed algorithm called belief propagation (BP). Recent works on subgraph detection without cues have shown that global maximum likelihood (ML) detection strictly outperforms BP in terms of asymptotic error rate, namely, there is a threshold condition that the subgraph parameters should satisfy below which BP fails in achieving asymptotically zero error, but ML succeeds. In contrast, we show that when the fraction of cues is strictly bounded away from zero, i.e., when there exists non-trivial side-information, BP achieves zero asymptotic error even below this threshold, thus approaching the performance of ML detection. Key-words: Belief Propagation, Subgraph Detection, Semisupervised Learning, Random Graphs ∗ Corresponding author, [email protected] La Detection de Sousgraphes en presence des indices grâce au Belief Propagation Résumé : Nous considérons un graphe Erdős-Rényi qui a n sommets dont q est la probabilité d’arrêtes. La dessus il y un sousgraphe placé sur leurs m sommets selectionnés aléatoirement et leur probabilité d’arrêtes est p, en sorte que p > q. Nous proposons un algorithme distribué aux calculs locales à chaque sommet, tiré du “Belief Propagation” (BP), qui détecte les sommets du sousgraphe, quand on connait une fraction de sommets du sousgraphe en tant qu’indices. Des recherches récentes ont prouvé que la prestation du BP dans l’absence des indices est strictement inférior par rapport à la detection globale du maximum de vraisemblance (DMV). A l’opposé, ici on prouve qu’en presence des indices, la prestation du BP est à l’hauteur de celle de DMV, dans la sens où le premier reussie à detecter la sousgraphe avec une erreur qui tend a zéro, à chaque fois le dernier peut le faire, dans la limite où le nombre de sommets du graph tend l’infinité. Mots-clés : Belief Propagation, Detection de Sousgraphes, Semisupervised Learning, Graphes Aléatoires Subgraph Detection with cues using Belief Propagation 3